Term
| Funkcja f jest całkowalna na prostokącie P jesli |
|
Definition
| jej dolna całka Darboux jest równa jej górnej całce Darboux |
|
|
Term
|
Definition
|
|
Term
| Funkcja ciągla, f na zbiorze domkniętym i ograniczonym jest jednostajnie ciągla tzn [image] stad [image] |
|
Definition
| Jesli f jest ciagla na P to ejst calkowalna na P |
|
|
Term
| Zamiana smiennych w całce podwójnej jest opisane wzorem |
|
Definition
|
|
Term
| Jesli A c R2 to [image] jest równe |
|
Definition
|
|
Term
|
Definition
|
|
Term
| Funkcja parzysta w przedziale [-a, a] rozwija się: |
|
Definition
|
|
Term
| Funkcja nieparzysta w przedziale [-a, a] rozwija się: |
|
Definition
|
|
Term
| Jeśli f jest parzysta to funkcja x <-> f(x)sinnx jest nieparzysta zatem całka tej funkcji na [image] |
|
Definition
| Funkcja parzysta rozwija się na szereg cosinusów |
|
|
Term
|
Definition
| Jeśli każdy punkt skupienia zbioru A należy do A |
|
|
Term
| Topologia przestrzeni metrycznej X to: |
|
Definition
| rodzina wszystkich podzbiorów otwartych |
|
|
Term
| Funkcja jest ciągła jeśli |
|
Definition
| przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty |
|
|
Term
| Niech[image]. Wtedy [image]. Jest to dowód faktu, że |
|
Definition
| Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą |
|
|
Term
|
Definition
| funkcja f, która jest ciągła, odwracalna i której odwrotność jest ciągła |
|
|
Term
| Punkt p \in X jest punktem stałym f: x->X jesli: |
|
Definition
|
|
Term
| Funckja f:x->x jest ciągła [image] : |
|
Definition
| granica funkcji f w punkcie p jest równa f(p) |
|
|
Term
| ze zbieżności ciągu [image] wynika, że dla [image] istnieje [image] Naturalnych takie że dla k>N [image]. Jeśli więc k,m>N to: [image]. Jest to dowód: |
|
Definition
| jeśli ciąg zbieżny to spełnia warunek Cauchy'ego |
|
|
Term
| Jeśli funkcja f jest dyfeomorfizmem to: |
|
Definition
|
|
Term
| Jeśli jac f(x) =! 0 dla każdego x, to: |
|
Definition
| f jest lokalnym dyfeomorfizmem |
|
|
Term
| Rozważmy F:[image], określonego przez F(x,y) = x nad f(x,y). Ponieważ F'(p,q) jest odwracalna, z tw o f odwrotnej ; F jest lokalnie odwracalna w otoczeniu punktu(p,q) Funkcje g można znaleźć korzystając z postaci F^-1 |
|
Definition
|
|
Term
| Gradient funkcji [image] w punkcie p: |
|
Definition
| jest prostopadły do warstwicy funkcji f przechodzącej przez p |
|
|
Term
|
Definition
|
|
Term
| Ponieważ f^-1(f(x))=x, więc [image]. Mnożąc to przez (f'(p))^-1 dostajemy tezę: |
|
Definition
| Jeśli [image] odwracalna w otoczeniu punktu [image], f i f^-1 różniczkowalne, to [image] |
|
|
Term
| Funkcja f:E->R przyjmuje w E ekstrema globalne jeśli |
|
Definition
| f jest ciągla , a E domknięty i ograniczony |
|
|
Term
| Jesli funkcja [image] przyjmuje w p minimum lokalne warunkowe przy ograniczeniu g(x) = 0 to |
|
Definition
| isnieje [image] trakie że ([image], p) jest punktem krytycznym funkcji [image] |
|
|
Term
| Niech (x^k) zawarty w E. Zbiór E zawiera się w prostokącie [a,b]x[c,d]. Podzielmy prostokąt na dwie równe częsci dzieląc [a,b] na pół. Jedna z tych części zawiera nieskończenie wiele wyrazów tego ciągu. Wybieramy z tej części jeden z nich, x^k1. Jest to fragment tierdzenia: |
|
Definition
| Zbiór [image] jest domknięty i ograniczony <=> gdy każdy ciąg zawarty w E zawiera podciąg zbieżny do punktu z E |
|
|
Term
| pochodne mieszane DjDif i DiDjf są równe: |
|
Definition
|
|
Term
|
Definition
| macierz pochodnych cząstkowych rzędu 2 funkcji f |
|
|
Term
| Jeśli funkcja f ma w punkcie p ekstremum lokalne i istnieją pochodne cząstkowe w tym punkcie to: |
|
Definition
| gradient funkcji f w punkcie p jest równy 0 |
|
|
Term
| Niech g(t) = f(p+tv), Funckja g ma ekstremum lokalne w t=0 i ma pochodzna w tym punkcie. Zatem g'(0) = 0. Ale g'(0) = Dv f(p) więc Dv f(p)=0. Dowód: |
|
Definition
| Jeśli funkcja f ma w punkcie p ekstremum lokalne i istnieje pochodna kierunkowa Dv f(p) dla pewnego [image] to Dv f(p) = 0 |
|
|
Term
| Niech [image]. Wykres funkcji jest |
|
Definition
|
|
Term
| Niech [image]. Warstwica funkcji jest |
|
Definition
|
|
Term
| W orzestrzeni unormowanej z normą ||*|| można określić metryke wzorem [image] Jest to dowód: |
|
Definition
| funckja [image]spełnia warunek trójkąta |
|
|
Term
| Gramia jednostajnie zbieżnego ciągu funckji ciągłych |
|
Definition
|
|
Term
| Jeśli szereg [image] jest zbieżny jednostajnie |
|
Definition
|
|
Term
| Jeśli szereg [image] jest zb jednostajnie na [a,b] i funkcje fn, n należy do N są całkowalne to: |
|
Definition
|
|
Term
| Z jednostajnej zbieżności mamy: [image], a więc an-->0. Jest to dowód implikacji: |
|
Definition
| Jeśli ciąg funkcyjny(fn) jest zbieżny jednostajnie do f na E, to [image] |
|
|
Term
| Szereg potęgowy jest zbieżny |
|
Definition
| niemal jednostajnie w swoim przedziale zbieżności |
|
|
Term
|
Definition
|
|
Term
| Jeśli funkcja f jest analityczna |
|
Definition
| to jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna |
|
|
Term
| Przypuśćmy że [image] stąd otrzymujemy [image] Ponieważ pochodne funkcji zerowej są równe 0 ... , więc jest to dowód: |
|
Definition
| jednoznaczności rozwinięcia Taylora w szereg |
|
|
Term
| Tw. Banacha o punkcie stałym mówi, że |
|
Definition
| odwzorowanie zwężające f w zupełnej przestrzeni metrycznej X ma dokładnie jeden punkt stały |
|
|
Term
| Pochodna cząstkowa funkcji f w punkcie P jest : |
|
Definition
| pochodną kierunkowa funkcji f w punkcie P |
|
|
Term
| Funckja f jest ciągła w punkcie P |
|
Definition
| jeśli jest różniczkowalna w P |
|
|
Term
| Wybieramy dowolne [image] oraz zdefiniujmy [image] . Niech [image]. Z właściwości zwężania otrzymujemy że ciąg [image] jest ciągiem Cauchy'ego. Z zupełności przestrzeni X ten ciąg jest zbieżny do pewnego [image]. Ponieważ f jest ciągła, więc [image] . Jest to dowód: |
|
Definition
|
|
